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什么是齐次坐标?
在计算机图形学里面会经常碰到几何体的平移,旋转,缩放以及投影变换. 一般情况下会涉及到齐次坐标与变换矩阵. 为了后续对变换矩阵内容的讲解, 在这里先简要的介绍一下什么是齐次坐标.
来源:互联网

编辑: 马海东

在计算机图形学里面会经常碰到几何体的平移,旋转,缩放以及投影变换. 一般情况下会涉及到齐次坐标与变换矩阵. 为了后续对变换矩阵内容的讲解, 在这里先简要的介绍一下什么是齐次坐标.

以下为正文内容转载(经过编辑与修改)

by Song Ho Ahn (안성호)

问题:两条平行线可以相交?

在欧氏空间(几何学)中,同一平面上的两条平行线不能相交,或者说不能永远相交。这是一个大家都熟悉的常识。

但是,在投影空间中就不一样了,比如,下图上的火车铁路在远离眼睛的时候会变得更窄。最后,两条平行的铁轨在地平线处相交,也就是无限远处的一点。

铁路变窄,在地平线处相交。

铁路变窄,在地平线处相交。

欧氏空间(或笛卡尔空间)能很好地描述我们的2D/3D几何,但它们不足以处理投影空间(实际上,欧氏几何是投影几何的一个子集)。一个2D点的笛卡尔坐标可以表示为(x,y)。

如果这个点远去到无穷远呢?无穷远处的点在欧氏空间中无法具体展示。在投影空间中,平行线会在无穷远处相遇,但在欧氏空间中却做不到。

那么数学家如何用数学的方法来描述这个问题呢?

解决方案: 齐次坐标

由 August Ferdinand Möbius(不错,就是那个莫比乌斯圈的那位) 提出的齐次坐标,使图形和几何学的计算在投影空间中成为可能。齐次坐标是用N+1个数来表示N维坐标的一种方式。

要制作二维齐次坐标,我们只需在现有坐标中增加一个额外的变量w。因此,笛卡尔坐标中的一点,(X,Y)在齐次坐标中就变成了(x,y,w)。而笛卡儿坐标中的X和Y在齐次坐标中的x、y和w则重新表达为

X = x/w
Y = y/w

为什么叫 “齐次”呢?

如前所述,为了将齐次坐标(x,y,w)转换为笛卡尔坐标,我们只需将x和y除以w即可。

2

将Homogeneous转换为Cartesian,我们可以发现一个重要的事实。让我们看看下面的例子。

3

如你所见 (1, 2, 3), (2, 4, 6)和(4, 8, 12)这三个点对应于同一个欧氏点(1/3, 2/3). 而任何乘以a的数(1a,2a,3a)与欧氏空间中的(1/3,2/3)是同一个点。因此,这些点是 “homogeneous/齐次 “的,因为它们在欧氏空间(或笛卡尔空间)中代表同一个点。换句话说,齐次坐标是与乘数a不相关的。

WechatIMG2308

数学证明: 两条平行线可以相交

考虑以下欧氏空间的线性系统。

4

而我们知道,由于C≠D,所以上述方程没有解。 如果C=D,那么两条线是相同的(重叠的)。

让我们重写投影空间的方程,将x和y分别替换为x/w,y/w。

5

现在,我们有一个解,(x,y,0),因为(C-D)w=0,∴w=0. 因此,两条平行线在(x,y,0)处相交.

(x,y,0)在几何上代表一条没有起点与终点, 也没有长度的射线,它只有方向。

齐次坐标的应用

齐次坐标在计算机图形学中是非常有用的基本概念,通过增加一个额外的维度W后,可以用来对几何体进行缩放,旋转,平移,透视投影的矩阵变换.

任何N维度齐次坐标,只要W不为0,都可以通过将每一个分量除以W来转换到 W=1的向量, 然后获得其N-1维的欧式空间的点值。

而当W=0时,这个坐标表示无限长的一个向量,通常表示N-1维的矢量。

reference
http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html
https://hackernoon.com/programmers-guide-to-homogeneous-coordinates-73cbfd2bcc65
https://www.tomdalling.com/blog/modern-opengl/explaining-homogenous-coordinates-and-projective-geometry/

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maurizio 等1人赞过
2020.09.23
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