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NURBS曲线DeBoor算法(Grasshopper数学插件)
这个grasshopper组件可以让你通过设定曲线的度数、控制点、重量向量和结点向量来演示如何生成NURBS曲线。其结果是让用户可以直观的看到最一般意义上的NURBS曲线的生成。
来源:互联网

16 June 2020

● 版本 0.0.2 alpha
● 版权 (c) 2019-2020 mahaidong
● Supported by ikuku.cn & caad.xyz

 

这个插件能做什么?

演示Nurbs曲线的DeBoor算法

仅仅靠自己的抽象想象力去理解不同的控制点位置(point)、权重向量(weight)和结点向量(knot)对NURBS曲线的影响是很难获得直观的理解与认识的.

这个grasshopper组件可以让你通过设定曲线的度数、控制点、重量向量和结点向量来演示如何生成NURBS曲线。其结果是让用户可以直观的看到最一般意义上的NURBS曲线的生成.

同时在曲线的绘制的时, 直接展示了与DeBoor算法相关的辅助线,及辅助线如何生成曲线.

DeBoor算法参考文献: https://pages.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/de-Boor.html

什么是DeBoor算法?

● DeBoor算法是DeCasteljau算法的B-spline版本
● 通过DeBoor算法可以精准的描绘B-spline
● 通过控制点及结点向量knot的值u,通过递归求得曲线上的点的位置
● DeBoor算法也可以用于Nurbs曲线的生成

1

BSpline的DeBoor算法伪代码, python源码见github

Screen Shot 2020-06-16 at 18.32.14

5阶BSpline的演示

3

10个控制点
knots= [0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5]
weight= [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1]

NURBS曲线的DeBoor算法

De Boor的算法也适用于NURBS曲线。我们只需将每个控制点乘以它的权重,将NURBS曲线转换为4D B-spline曲线,在这条4D B-spline曲线上执行de Boor算法,然后将得到的曲线上的点的xyz除以w,就可以将曲线投影回来. python源码见github

圆的Nurbs拟合演示

4

9个控制点
knots= [0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4]
weight=[1, 0.707107, 1, 0.707107, 1, 0.707107, 1, 0.707107, 1]

 

演示Bezier曲线与Bernstein多项式

参数曲线的范畴

5

什么是Bezier曲线

Bezier曲线的数学基础–伯恩斯坦多项式–早在1912年就已为人所知,但直到大约50年后,法国工程师皮埃尔-贝兹尔(Pierre Bézier)才将这些多项式应用于图形,并将其广泛宣传,他用它们在雷诺公司设计汽车车身。这些曲线的研究最早是在1959年由数学家Paul de Casteljau利用de Casteljau的算法发展起来的,该算法是一种数值稳定的方法,用于评估法国另一家汽车制造商Citroën的Bézier曲线。

关于Bernstein多项式的介绍见: http://www.ikuku.cn/post/1872817

Bezier曲线的数学公式

Bernstein多项式

6

 

 

其中:

7

 

 

n阶贝塞尔曲线的定义

8

 

 

n=1:
当n=1的时候可以用来表示直线.

9

 

17

 

 

 

 

n=2:
当n=2的时候可以用来表示曲线.

18

 

11

 

 

 

 

5阶贝塞尔曲线的演示

11

 

12

 

如何安装与使用?

Github源码下载: https://github.com/caadxyz/DeBoorAlgorithmNurbs

方法一
● 拷贝dist文件夹中的ghuser 文件到 User Objects 文件夹
● 打开dist文件夹中的案例文件 DeBoorAlgorithmNurbs.gh 查看演示效果

方法二
● 打src文件夹中的案例文件 DeBoorAlgorithmNurbs.gh 查看演示效果

b-spline:

13

nurbs circle:

14

bezier curve:

15

 

todo

● Single Insertion
● Inserting a Knot Multiple Times
● compute tangent and normal vectors at a point on a Bézier curve
● b-spline surface
● curve interpolation

 

许可证

你可以根据自由软件基金会发布的GNU Lesser General Public License版本3的条款重新发布它和/或修改它。

 

插件下载

food4rhino: https://www.food4rhino.com/app/de-boors-algorithm
Github源码下载: https://github.com/caadxyz/DeBoorAlgorithmNurbs

 

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马海东 等1人赞过
2020.06.17
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